Logaritmo decimal

Representación geométrica del logaritmo decimal o común en coordenadas cartesianas.

En matemáticas, se denomina logaritmo decimal, logaritmo común o logaritmo vulgar al logaritmo cuya base es 10, por lo tanto, es el exponente al cual hay que elevar 10 (exponenciación) para obtener dicho número. Se suele denotar como log₁₀(x), o a veces como log(x), aunque esta última notación causa ambigüedades, ya que los matemáticos usan ese término para referirse al logaritmo complejo. El logaritmo decimal fue desarrollado por Henry Brigges.

Propiedades características

Observando la siguiente progresión geométrica.

\begin{array}{ll} { 10 }^{ 0 }=1 & { 10 }^{ -1 }=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 1 } } =0.1 \\ { 10 }^{ 1 }=10 & { 10 }^{ -2 }=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 2 } } =0.01 \\ { 10 }^{ 2 }=100 & { 10 }^{ -3 }=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 3 } } =0.001 \\ { 10 }^{ 3 }=1000, \mbox{etc.} & { 10 }^{ -4 }=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 4 } } =0.0001, \mbox{etc.} \end{array}

se puede deducir fácilmente las siguientes propiedades de los logaritmos de base 10:

Los únicos números de este sistema cuyos logaritmos son enteros son las potecia de diez.Así:

\begin{array}{ll} \log _{ 10 }{ 1 } =0 & \log _{ 10 }{ 0.1 } =-1 \\ \log _{ 10 }{ 10 } =1 & \log _{ 10 }{ 0.01 } =-2 \\ \log _{ 10 }{ 100 } =2 & \log _{ 10 }{ 0.001 } =-3 \\ \log _{ 10 }{ 1000 } =3,\mbox{etc.} & \log _{ 10 }{ 0.0001 } =-4,\mbox{etc.} \end{array}

El logaritmo de todo número que no es potencia de de 10 no es un entero, sino una fracción propia o un entero más una fracción propia o mantisa

Como

\log _{10}{1} =0

\log _{10}{10} =1

, los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor a 0 y menor que 1; su logaritmo será un fracción propia.

\log _{ 10 }{ 2 } =0.301030

Como

\log _{10}{10} =1

\log _{10}{100} =2

, los números comprendidos entre 10 y 100 tendrán un logaritmo mayor a 1 y menor que 2; su logaritmo será 1 más una fracción propia.

\log _{ 10 }{ 15 } =1 + 0.176091=1.176091

Como

\log _{10}{100} =2

\log _{10}{1000} =3

, los números comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor a 2 y menor que 3; su logaritmo será 2 más una fracción propia.

\log _{ 10 }{ 564 } =2 + 0.751279=2.751279

Parte entera y mantisa

Se puede resumir de lo anterior que los logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.

Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.
Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).

La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que $\log_{10} 1=0\,$ y $\log_{10} 10=1\,$ entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1 del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.
La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.
La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.

Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.

Logaritmo natural

Logaritmo natural

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como log_e(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e²=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e¹=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.² Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:

\text{ln}:\mathbb R^{+}\to\mathbb R

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

e^{\text{ln}\,x}=x\text{, para todo }x>0

\text{ln}(e^x)=x\!

Historia

La primera mención del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Logarithmotechnia publicado en 1668, a pesar de que el profesor de matemáticas John Speidell ya lo había hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural. Fue llamado formalmente como logaritmo hiperbólico,puesto que sus valores correspondían con los del área hallada bajo la hipérbola. A veces también se refiere al logaritmo neperiano, a pesar de que el significado original de este término es ligeramente diferente.

Origen del término logaritmo natural

Inicialmente, y desde que el sistema decimal se volvió el sistema de numeración más común, podría parecer que la base 10 fuese más «natural» que la base e. Pero matemáticamente, el número 10 no es particularmente significativo. Su uso cultural—como base numérica para muchas sociedades—probablemente surge del típico número de dedos humanos. Otras culturas basaron sus sistemas de numeración eligiendo diversas bases como 5, 8, 12, 20, y 60.
log_e es el logaritmo «natural» porque automáticamente surge, y aparece más comúnmente, en matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de derivar una función logarítmica:

\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)}

Si la base b es igual a e, entonces la derivada es simplemente 1/x, y en x = 1 esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual el logaritmo de base -e- es el más natural es que puede ser definido muy fácilmente en términos de una integral o por series de Taylor y esto no sería tan sencillo si el logaritmo fuera de otra base.
Sentidos adicionales de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo, tenemos un número de series simples relacionadas con el logaritmo natural. Además de que Pietro Mengoli y Nicholas Mercator lo llamaron logarithmus naturalis unas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.

Definición

ln(x) normalmente se representa como el área bajo la curva f(t) = 1/t de 1 hasta x. Si x es menor que 1, el área de x hasta 1 se toma como negativa.

Formalmente, la función ln(x) se define para valores reales positivos, como el área bajo la gráfica de 1/t entre 1 y x. Esta área corresponde a una integral:

La función logaritmo natural ln:R⁺→R se define como:

$\ln (x):=\int_1^x \frac{dt}{t}\,$

Mediante esta definición es inmediato comprobar que esta función cumple la propiedad fundamental de todo logaritmo:

\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)

Demostración

El número para el cual esta función vale 1 resulta ser el número e. Por lo tanto, ln es el logaritmo con base e, o sea, la función inversa de e^x.

Propiedades

El logaritmo natural cumple con las propiedades generales de los logaritmos, así como las identidades logarítmicas; Aparte de las propiedades generales, se destacan las siguientes:

$\ln(1) = 0\,$

$\ln(-1) = i \pi \quad \,$

(véase logaritmo complejo)

$\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm para}\quad 0 < x < y\;$

$\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm para}\quad h > -1\;$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,$

El logaritmo natural en integración

El logaritmo natural permite la integración sencilla de las funciones de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una primitiva g(x) viene dada por ln(|f(x)|). Esto es debido a la regla de la cadena y también a lo siguiente:

\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.

En otras palabras,

\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C

También se puede ver de esta manera,

\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.

Ahora bien; véase el siguiente ejemplo g(x) = tan(x):

\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx

\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.

Tomando f(x) = cos(x) y f'(x)= – sin(x):

\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C

\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C

donde C es una constante arbitraria de integración.
El logaritmo natural puede ser integrado utilizando el método de integración por partes. Los detalles se dejan al lector.